اخبار
در حال خواندن
مقاله روش‌های محاسبه انتقال حرارت دو بعدی
0

مقاله روش‌های محاسبه انتقال حرارت دو بعدی

توسط Rpizh۱۶ آبان, ۱۳۹۵

محاسبه انتقال حرارت در سیستم های که گرادیان دما (تغییرات دما) و سطح بر‌حسب یک مختص مکان بیان شده و سیستم در حالت پایاست با استفاده از قوانین فوریه و حل انتگرال به راحتی قابل انجام بود اما برای انجام این محاسبات برای سیستم های دو یا سه بعدی نیاز داریم تا از روش‌های دیگری برای محاسبه برای رسانش دو بعدی  استفاده کنیم تا پاسخگوی حل معادله دیفرانسیلی (۱-۱) که معادله با مشتقات جزئی (PDE) است. در این مقاله سعی می کنیم تا به معرفی و نحوه استفاده از آنها بپردازیم.

Article-of-calculation-conduction-de-next-pointer

معادله ۱-۱

بطور کلی سه روش وجود دارد که به شرح زیر است:

  • روش های دقیق (تحلیلی): روش های دقیق برای شرایط ایده آلی بدست می آیند. در این روش ها، با حل ریاضی معادله پخش حرارتی سروکار داریم. برای حل معادله پخش حرارتی روش های گوناگون وجود دارد، ولی این حل ها شامل سری ها وتوابع پیچیده ریاضی اند و آنها را فقط برای بعضی شکل های ساده هندسی و شرایط مرزی ساده می‌توان بدست آورد. با این وجود، این حل ها خیلی با ارزشند، زیرا متغیر وابسته T به صورت تابع پیوسته‌ای از متغیرهای مستقل(x,y) تعیین می شود. با استفاده از این تابع می توان دما را در هر نقطه محیط محاسبه کرد.
  • روش های تقریبی (ترسیمی ، عددی): برخلاف روش های تحلیلی ، که نتایج دقیق را در هر نقطه می دهند ،روش های ترسیمی وعددی فقط می توانند نتایج تقریبی را در نقاط مجزا بدهند . چون از این روشها برای شکل های هندسی و شرایط مرزی پیچیده نیز می توان استفاده کرد ، اغلب به عنوان تنها روش حل مسائل رسانش چند بعدی به کار می روند .

در این قسمت به بررسی روش اول (حل تحلیلی) می پردازیم.

می دانیم که با بدست آوردن تابع توزیع دما می توانیم از قانون فوریه استفاده کنیم پس هدفمان بدست آوردن، تابع توزیع دماست که خود تابعی از x , y است.

1

 

شکل 1-1

شکل ۱-۱

حال شرایط مرزی را برای شکل ۱-۱ در نظر می گیریم.

3

حال یک تغییر متغییر انجام می دهیم که مراحل ساده تر شود و T0 خود جزئی از متغییر جدید باشد و سپس معادله و شرایط مرزی نسبت به متغییر جدید را باز می نویسیم.

4

جداسازی متغییرها:برای این منظور فرض میکنیم حل مورد نظر را می توان به صورت حاصل ضرب دو تابع بیان کرد .یکی تابعی که فقط به xودیگری تابعی که فقط به yبستگی دارد:

5

با جایگذاری در معادله ی ۲-۱ و تقسیم کردن بر XY به  ۳-۱ میرسیم.

1-2

۱-۲

1-3

۱-۳

بدیهی است که این معادله دیفرانسیل جداشدنی است.یعنی سمت چپ معادله فقط تابعی از X و سمت راست معادله فقط به  Yبستگی دارد.لذا فقط وقتی تساوی برقرار است که هر دو طرف با مقدار ثابت یکسانی برابر باشند. پس

8

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

10

 

 

 

11

 

 

 

 

 

بدین ترتیب می توان دما را که تابعی از x,y است به دست آورد.

جواب نهایی این معادله با استفاده از میدان دما که در شکل آمده و اعمال شرایط مرزی و در نظر گرفتن دمای T2 برای سطح بالای شکل ۱-۱ به شکل سری بدست می آید که در مقاله‌های بعدی به بررسی محاسبه این مقدار خواهیم پرداخت.

12

در قسمت بعدی این مقاله به بررسی روش تقریبی خواهیم پرداخت.

 

نویسنده: رضاپیرخوشقیافه

منابع: کتاب انتقال حرارت هولمن/ ویکیپدیا

واکنش شما چیست؟
I like it
100%
interested
0%
Hate it
0%
What
0%
درباره نویسنده
Rpizh

Mechanical Engineer

پاسخ بدهید