مقالات
در حال خواندن
روش المان محدود (FEM)
0

روش المان محدود (FEM)

توسط میلاد سکاکی۲۷ اردیبهشت, ۱۳۹۶

روش اجزاء محدود یا روش المانهای محدود (به انگلیسی: Finite Element Method) که به اختصار FEM نامیده میشود, یک تکنیک محاسباتی برای یافتن حل عددی تقریبی معادلات دیفرانسیل جزئی (Partial Deferential Equation) می باشد که امروزه کاربردهای فراوانی در صنعت یافته است.

روش آنالیزالمان محدود یک ابزارقوی و مدرن محاسبه ای است. به منظور حل مسائل مهندسی سازه ای بسیار پیچیده خصوصا در صنعت هواپیما سازی، این روش در طول ۱۵ سال گذشته در سراسر جهان کاربرد بسیار وسیعی داشته است. این روش اکنون در زمینه های دیگری همچون آنالیز حرارتی، مکانیک سیالات و الکترومغناطیس هم مورد قبول واقع شده است. در این روش به علت وجود حجم محاسبات بالا کامپیوتر دیجیتالی مورد نیاز است.

اساس کار این روش یا حذف کامل معادلات دیفرانسیل یا ساده سازی آنها به معادلات دیفرانسیل معمولی، که با روشهای عددی مثل اویلر حل میشوند، میباشد.

همانطور که می دانید بسیاری از مسائل مهندسی همچون انتقال حرارت و مکانیک سیالات ارتعاشات و … پس از مدل شدن تبدیل به یک معادله ی دیفرانسیلی جزئی می شوند. که حل آنها به صورت جبری بسیار وقت گیر و پیچیده است.

در حل معادلات دیفرانسیلی اولین چالش یافتن معادلاتی است که معادله ی اصلی را تقریب زده و از لحاظ عددی قابل اعتماد باشند.حتما از محاسبات عددی به خاطر دارید که وقتی داده ها را در چندین فرمول وارد و خارج می شوند در طی هر مرحله مقداری خطای آنها بالا می رود. و همیشه تلاش می شود همه ی فرمولها را یکباره به کار گیرند تا این مشکل کمتر خود را نشان دهد.بسیار پیش می آید که جواب نهایی عددی هیچ معنی و مفهوم درست و منطقی ندارد. در حل معادلات دیفرانسیل جزئی مسئله مهم این است که به معادله سادهای که از نظر عددی پایداراست- به این معنا که خطا در داده های اولیه و در حین حل آنقدر نباشد که به نتایج نا مفهوم منتهی شود- برسیم.

روشهای زیادی برای حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی وجود دارد و ریاضی دانان در این زمینه بیکار ننشسته اند.اما روشی که امروزه بیشتر از همه بکار گرفته شده و کاربرد آن در صنعت بیش از همیشه خود را نشان داده است روش المان محدود است که بسیاری از نرم افزار های تجزیه و تحلیل مهندسی همچون انسیس (Ansys) ،آباکوس(Abaqus) و نسترن(Nastran) از آن بهره می برند.

این روش درحل معادلات دیفرانسیل جزئی روی دامنه های پیچیده (مانند وسائل نقلیه و لولههای انتقال نفت)، یا هنگامی که دامنه متغیر است، یا وقتی که دقت بالا در همه جای دامنه الزامی نیست و یا اگر نتایج همبستگی و یکنواختی کافی را ندارند، بسیار مفید میباشد. به عنوان مثال در شبیه سازی یک تصادف در قسمت جلوی ماشین، نیازی به دقت بالای نتایج در عقب ماشین نیست، نیز در شبیه سازی و پیش بینی هوا روی کره زمین، هوای روی خشکیها اهمیت بیشتری از هوای روی دریاها دارند.

تاریخچه

پیدایش روش اجزاء محدود به حل مسائل پیچیدهٔ الاستیسیته و تحلیل سازهها در مهندسی عمران و هوا فضا برمیگردد. این روش حاصل کارالکساندرهرنیکوف (۱۹۴۱) و ریچارد کورانت (۱۹۴۲) میباشد. با این که روش کار این دو دانشمند کاملاٌ متفاوت بود، اما یک ویژگی مشترک داشت: تقسیم یک دامنهٔ پیوسته (ماده) به یک سری زیردامنه (قطعات کوچکتر ماده) به نام المان (اجزاء). در سال ۱۹۴۷، الگیر زینکویچ (Olgierd Zienkiewicz) از ایمپریال کالج لندن، با ترکیب این دو روش، راه حلی را که ما امروزه آن را به نام روشهای المان محدود میشناسیم، ابداع کرد.

در میانه های دهه ۱۹۵۰ استفاده جدی از این روش برای حل مسائل مربوط به سازههای ساختمانی و سازههای فضایی در دستور کار قرار گرفت و دانشگاه اشتوتگارت آلمان در دهه ۱۹۶۰ با تحقیقات جان ارگریس (John Argyris) استفاده از آن را در مهندسی ساختمان تثبیت نمود. در سال ۱۹۶۵ سازمان ملی هوانوردی و فضایی آمریکا (NASA) طراحی یک نرم افزار مبتنی بر روشهای المان محدود را با بودجه دولت ایالات متحده انجام داد. این نرم افزار که در سال ۱۹۶۸ آماده شد Nastran نام گرفت (NAsa STRuctural ANalysis) که ناسا از آن برای آنالیز دینامیکی سازههای موشکها و شاتلهای فضایی استفاده کرد. استفاده از این نرم افزار در سال ۱۹۷۱ برای عموم آزاد شد.

کاربردها

مهندسی مکانیک بیشترین استفاده را از روش المان محدود می برد. بسیاری از مسائل فنی مهندسی مکانیک در شاخه های مکانیک سیالات ،انتقال حرارت و تحلیل سازه های همچون خرپاها از این روش قابل حل و تجزیه و تحلیل می باشند. تحلیلات مربوط به تنش و کرنش اجزاء مکانیکی و ارتعاشات که در مهندسی مکانیک اهمیت فراوانی دارند همه از این طریق به راحتی قابل انجام هستند.

استفاده از روش المان محدود در یک مساله نیاز به انجام یک سری مراحل خاص به صورت دقیق دارد. به عبارت دیگر الگوریتم خاصی بر روی مسئله باید پیاده شود که مراحل آن به صورت زیر می باشد:

۱-المان بندی مسئله مورد نظر

در این مرحله بسته به نوع مسئله (یک بعدی، دوبعدی و یا سه بعدی)المان مناسب انتخاب شده و جسم یا ناحیه و یا سازه مورد نظر المان بندی می شود. منظور از المان بندی جسم، تقسیم کردن جسم یا ناحیه مورد نظر به تعداد محدودی قسمتهای کوچکتر است.

۲- انتخاب تابع جابه جایی (متغیر میدانی) مناسب

کمیتی که می خواهیم بعد از انجام روش المان محدود بر روی مسئله مقدار آن در گره ها محاسبه شده و مشخص شود، در این قسمت انتخاب می شود. به عنوان مثال در مسئله مکانیک جامدات متغیر میدانی، جابه جایی و در مکانیک سیالات، سرعت است. کمیتهای دیگری در مسئله که علاقه مند به محاسبه آنها باشیم به وسیله روابطی به متغیر میدانی مربوط شده و مقادیر آن در گره ها و از آنجا در کل جسم بدست می آیند. به عنوان مثال در مسئله مکانیک جامدات بعد از بدست آمدن جابه جایی ها در کل گره ها با استفاده از روابطی کرنش ها و تنش های مربوط به هر گره و از آنجا کل جسم را می توان بدست آورد.

۳- استخراج ماتریس سختی المانی و بردار نیروی المانی

با مشخص شدن متغیر میدانی در مرحله قبل مولفه های بردار متغیر میدانی تعیین می شوند. در هر مسئله برداری به اسم بردار نیروی المانی تعریف شده که اثر نیروهای خارجی و یا محیط بر روی هر المان در آن نشان داده می شود. ماتریس سختی المانی ماتریسی است که خصوصیات مربوط به جنس جسم و همچنین نحوه توزیع نیروها بر روی گره های مربوط به هر المان را بیان می کند.

۴- جمع کردن (اسمبل کردن) معادلات المانی

مسئله مورد نظر برای کل جسم تعریف شده است نه برای تک تک المانها، بنابراین یک ماتریس سختی کلی برای جسم و همچنین یک بردار نیروی المانی کلی برای آن باید تعریف شود. در این مرحله با در کنار هم قرار دادن مناسب مولفه های ماتریسهای سختی المانی ماتریس سختی المانی کلی را تشکیل داده وهمچنین با چیدن مناسب مولفه های مربوط به بردارهای نیروی المانی در بردار کلی نیرو، بردار کلی نیروها حاصل می شود.

۵- اعمال شرایط مرزی

بر روی مرزهای جسم و یا ناحیه مورد نظر هر نوع شرط مرزی (ضروری و یا طبیعی) ممکن است اعمال شده باشد ولی بر روی یک مرز همزمان دو نوع شرط مرزی نمی تواند اعمال شود. به منظور بدست آوردن جوابهای درست و صحیح اثر شرایط مرزی اعمال شده بر روی جسم باید در ماتریس سختی نهایی و بردار کلی نیروها وارد شود. مثلا در مسائل مکانیک جامدات ممکن است در نقاطی از جسم جابه جائیها صفرباشند.

۶- حل به منظور محاسبه متغیر میدانی مجهول

با اعمال شرایط مرزی در مرحله قبل اکنون دستگاه معادلاتی داریم که با حل آن مقادیر گرهی مجهول متغیر میدانی قابل محاسبه است. به عنوان مثال در یک مسئله مکانیک جامدات با حل دستگاه معادلات نهایی، مقادیر جا به جایی تمامی گره ها بدست می آید.
تا اینجا مراحل انجام و یا اعمال روش المان محدود برای یک مسئله در حالت کلی به پایان رسید. در مورد یک مسئله مکانیک جامدات مرحله دیگری هم به منظور تکمیل حل به صورت زیر باید انجام شود.

۷- محاسبه تنشها و کرنشهای المانی

همانطور که در بخشهای قبلی گفته شد با بدست آوردن متغیر میدانی در گره ها، کمیتهای دیگری هم که بوسیله روابطی به متغیر میدانی مربوط هستند در گره ها و از آنجا در تمامی نقاط جسم و یا ناحیه قابل محاسبه هستند. در یک مسئله مکانیک جامدات با استفاده از جابه جائیها کرنشها و سپس با در دست داشتن کرنشها، تنشها قابل محاسبه هستند.

نرم‌افزار آباکوس (به انگلیسی: ABAQUS) از جمله نرم‌افزاری‌های قدرتمند مهندسی به کمک رایانه در زمینه تحلیل به روش اجزاء محدود(FEM) در بازار است. اسم و نشان این نرم‌افزار از لغت abacus در زبان انگلیسی به معنای چرتکه و (abax (ἄβαξ در زبان یونانی به معنای تخته پوشیده شده با ماسه، گرفته شده‌است.
این نرم‌افزار محصول شرکت فرانسوی داسو سیستمز می‌باشد.

آباکوس قابلیت حل مسایل از یک تحلیل خطی ساده تا پیچیده ترین مدلسازی غیر خطی را دارا می‌باشد. این نرم‌افزار دارای مجموعه المانهای بسیار گسترده‌ای می‌باشد که هر نوع هندسه‌ای را می‌توان توسط این المان‌ها مدل کرد. همچنین دارای مدل‌های رفتاری بسیار زیادی است که در مدلسازی انواع مواد با خواص و رفتار گوناگون نظیر فلزات، لاستیک‌ها، پلیمرها، کامپوزیت‌ها، بتن مسلح، فومهای فنری و نیز شکننده و همچنین مصالحی ژئوتکنیکی نظیر خاک و سنگ، قابلیت بالایی را ممکن می‌سازد. نظر به اینکه آباکوس یک ابزار مدلسازی عمومی و گسترده می‌باشد، استفاده از آن تنها محدود به تحلیل مسائل مکانیک جامدات (یعنی مسئله تنش – کرنش) نمی‌شود. با استفاده از این نرم‌افزار می‌توان مسایل مختلفی نظیر انتقال حرارت، انتقال جرم، تحلیل حرارتی اجزاء الکتریکی، اکوستیک، تراوش و پیزو الکتریک را مورد مطالعه قرار داد.

آباکوس با وجود اینکه مجموعه قابلیتهای بسیار گسترده‌ای را در استفاده از نرم‌افزار اختیار کاربر قرار می‌دهد، کار نسبتاً ساده‌ای می‌باشد. پیچیده ترین مسایل را می‌توان به آسانی مدل کرد. به عنوان مثال مسایل شامل بیش از یک جزء را می‌توان با ایجاد مدل هندسی هر جزء و سپس نسبت داده رفتار ماده مربوطه به هر جزء و سپس مونتاژ اجزاء مختلف مدل کرد. در اغلب مدلسازی‌ها، حتی مدلهای با درجه غیر خطی بالا، کاربر می‌بایست تنها داده‌های مهندسی نظیر هندسه مسئله، رفتار ماده مربوط به آن، شرایط مرزی و بارگذاری آن مسئله را تعیین کند. آباکوس در یک تحلیل غیر خطی، به طور اتوماتیک میزان نمو بار و رواداری‌های همگرایی را انتخاب و همچنین در طول تحلیل مقادیر آنها را جهت دستیابی به یک جواب صحیح تعدیل می‌کند. در نتیجه کاربر به ندرت می‌بایست مقادیر پارامترهای کنترلی حل عددی مسئله را تعیین کند

واکنش شما چیست؟
I like it
75%
interested
25%
Hate it
0%
What
0%
درباره نویسنده
میلاد سکاکی
دانشجوی مهندسی مکانیک

پاسخ بدهید